1. 三角関数の相互関係
三角比の相互関係
・tanθ=sinθcosθ
・sin2θ+cos2θ=1
・1+tan2θ=1cos2θ
2. 三角関数の性質（変換公式）
2.2 –θ の三角関数
－θの変換公式
・sin(–θ)= –sinθ
・cos(–θ)=cosθ
・tan(–θ)= –tanθ
2.3 θ+π2 の三角関数
θ＋ π/2 の変換公式
・sin(θ+π2)=cosθ
・cos(θ+π2)= –sinθ
2.4 θ+π の三角関数
θ＋πの変換公式
・sin(θ+π)= –sinθ
・cos(θ+π)= –cosθ
・tan(θ+π)=tanθ
2.5 π2 –θ の三角関数
π/2 －θの変換公式
・sin(π2 –θ)=cosθ
・cos(π2 –θ)=sinθ
・tan(π2 –θ)=1tanθ
2.6 π –θ の三角関数
π－θの変換公式
・sin(π –θ)=sinθ
・cos(π –θ)= –cosθ
・tan(π –θ)= –tanθ
3. 加法定理と応用
3.1 加法定理
加法定理の公式
【正弦の加法定理】
・sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
・sin(α–β)=sinαcosβ–cosαsinβ
【余弦の加法定理】
・cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
・cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ
【正接の加法定理】
・tan(α+β)=tanα+tanβ1–tanαtanβ
・tan(α–β)=tanα–tanβ1+tanαtanβ
3.2 2倍角の公式
2倍角の公式
- sin2α=2sinαcosα
- cos2α=cos2α–sin2α=2cos2α–1=1–2sin2α
- tan2α=2tanα1–tan2α
三角比についておさらい
三角関数や公式の覚え方を学ぶ前に、前提となる三角比についておさらいしましょう。
三角比の公式
三角比とは、直角三角形における辺の比のことです。直角に対する辺を「斜辺」、角度θに向かい合う辺を「対辺」、角度θと隣り合う下の辺を「底辺」とするとき、下記のように定義されます。
正弦（sin）：対辺と斜辺の比
余弦（cos）：底辺と斜辺の比
正接（tan）：対辺と底辺の比
直角三角形の底辺をa、対辺をb、斜辺をcとする場合、三角比を次のように表すことができます。
（1）sinθ=bc
（2）cosθ=ac
（3）tanθ=ba
三角比の公式では、「s」「c」「t」の筆記体の書き順と三角比の分母と分子を対応させる覚え方がおすすめです。例えばsinθは、直角を右側にみて筆記体の「s」の書き順をたどり、斜辺cが分母、対辺bが分子になります。
また、三角比の相互関係から次の公式も導き出されます。
tanθ=sinθcosθ
sin²θ+cos²θ=1
tan²θ+1=1cos²θ
正弦定理・余弦定理の公式
正弦定理と余弦定理は、三角形の角や辺を求める公式です。
・正弦定理
三角形ABCの辺の長さをBC=a、CA=b、AB=c、∠A、∠B、∠Cの大きさをA、B、Cとし、外接円の半径をRとしたとき、下記の正弦定理が成り立ちます。
asinA =bsinB =csinC=2R
正弦の比が3辺の長さの比に等しいことから、次の等式も成立します。
sinA：sinB：sinC=a:b:c
正弦定理は、1つの辺と2つの角の正弦がわかっている場合などに使用する定理です。例えば辺a、角A、角Bの正弦がわかっているときは、次の式から辺bを求められます。
asinA =bsinB
・余弦定理
三角形ABCの辺の長さをBC=a、CA=b、AB=c、∠A、∠B、∠Cの大きさをA、B、Cとした場合、下記の余弦定理が成り立ちます。
a²=b²+c²-2bc cosA
b²=a²+c²-2ac cosB
c²=a²+b²-2ab cosC
1つの公式だけ覚えれば、あとは文字を入れ替えればよいので、すべてを覚える必要はありません。
余弦定理は、2つの辺と1つの角の余弦、もしくは3辺すべてがわかっている場合に使える定理です。例えば辺b、ｃと角Aの余弦がわかっているとき、下記の式から辺aを求められます。
a²=b²+c²-2bc cosA
3辺a、b、cが与えられている場合は、余弦定理を変形した次の式により、角度Aを求められます。
cosA =b²+c²-a²2bc
三角関数とは？
直角三角形を用いる三角比は、扱える角度が0°≦θ≦90°のため、適用できる範囲が限られます。そこでマイナスの角度や180°を超える角度にも拡張する考え方として生み出されたのが三角関数です。
三角関数は単位円を用いて理解する方法が一般的です。原点を中心とした半径1の単位円を用いることにより、180°を超える角度と線分の関係も扱えるようになります。
実際に、単位円を描き、円の中心を原点Oと定めたxy平面を使って三角関数を考えてみましょう。正の方向のx軸から原点を中心にθ度回転させた半直線を描くと、単位円との交点Pができます。
その交点Pのx座標をcosθ、y座標をsinθとした場合、OPを方程式にするとy=axとなり、傾きaはtanθとなります。傾きaがtanθとなる理由は次の通りです。
三角比の相互関係から、
tanθ=sinθcosθ
交点Pの座標（x,y）を当てはめると、このように計算できます。
tanθ=yx ……①
一方、y=axを変形すると、傾きaは次の通り表せます。
a=yx ……②
①、②から、tanθとy=axの傾きaは同一と考えられるのです。
このように単位円を描き、任意の実数θを用いて定義されるsinθ、cosθ、tanθの式を三角関数と呼びます。
三角関数の公式【1】加法定理の覚え方
加法定理は三角関数の基本となる重要な定理です。大学入学共通テストでも頻出なため、語呂合わせを活用して確実に覚えましょう。
加法定理とは
加法定理は、2つの角度αとβの和や差の三角関数を求める公式です。加法定理を用いれば、sin30°やtan45°などの有名角の三角比を使って、sin75°やtan15°といった有名角の和や差になる角度の値を求められます。
加法定理は、6つの公式からなります。
（1）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
（2）sin（α−β）=sinαcosβ−cosαsinβ
（3）cos（α+β）=cosαcosβ−sinαsinβ
（4）cos（α−β）=cosαcosβ+sinαsinβ
（5）tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ
（6）tan（α−β）=tanα-tanβ1+tanαtanβ
三角関数の公式【2】2倍角の覚え方
次に、2倍角の公式とその覚え方について説明します。
なお、2倍角は2022年度の大学入学共通テストで出題されています。この機会に身に付けておきましょう。
2倍角（倍角）とは
2倍角は、ある角θの2倍にあたる角2θの三角関数を求める公式です。有名角の2倍になっている角の値を簡単に算出できます。2倍角は3つの公式からなります。
（1）sin2θ= 2sinθcosθ
（2）cos2θ=1-2sin²θ
=2cos²θ-1
（3）tan2θ=2tanθ1- tan²
いずれも加法定理を使えば、導き出せるものばかりです。暗記しておくとより早く問題を解けますが、いざというときのためにも、加法定理から導けるようにしておきましょう。
（1）は、下記のように導き出します。
sinの加法定理より、
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
αとβをθに置き換えると、
sin（θ+θ）=sinθcosθ+cosθsinθ
sin2θ= 2sinθcosθ
（2）は、cosの加法定理より、
cos（α+β）=cosαcosβ−sinαsinβ
αとβをθに置き換えると、
cos（θ+θ）=cosθcosθ−sinθsinθ
cos2θ=cos²θ-sin²θ
三角比の相互関係によりsin²θ+cos²θ=1であることから、次のように表せます。
cos2θ=1-2sin²θ
=2cos²θ-1
（3）は、tanの加法定理より、
tan（α+β） = tanα+tanβ1-tanαtanβ
αとβをθに置き換えると、
tan（θ+θ） = tanθ+tanθ1-tanθtanθ
tan2θ=2tanθ1-tan²θ
三角関数の公式【5】和積の覚え方
最後に、和積の公式の覚え方と語呂合わせです。公式が複雑にみえますが、計算で導く方法はそれほど難しくないので、暗記方法と一緒に理解しておきましょう。
和積とは
和積の公式は、2つの三角関数の和を積に変換する公式です。三角方程式・不等式や三角関数の積分などで使われます。
（1）sinA＋sinB=2sinA＋B2 cosA-B2
（2）sinA-sinB=2cosA＋B2 sinA-B2
（3）cosA＋cosB=2cosA＋B2 cosA-B2
（4）cosA-cosB=-2sinA＋B2 sinA-B2
（1）～（4）は加法定理を活用して導けます。
加法定理より、
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ……①
sin（α−β）=sinαcosβ−cosαsinβ……②
cos（α+β）=cosαcosβ−sinαsinβ……③
cos（α−β）=cosαcosβ+sinαsinβ……④
①＋②より、
sin（α+β）＋sin（α−β）=2sinαcosβ……i
①－②より
sin（α+β）－sin（α−β）=2cosαsinβ……ⅱ
③＋④より
cos（α+β）＋cos（α−β）=2cosαcosβ……ⅲ
③－④より、
cos（α+β）－cos（α−β）= −2sinαsinβ……ⅳ
α+β=A、α−β=B、α=A＋B2、 β=A-B2をi、ⅱ、ⅲ、ⅳのそれぞれの式で置き換えて、両辺を整理すると、和積の公式が成り立ちます。
ちなみに、和積と一緒に学習するのが、積和です。積和の公式は次の4つからなり、2つの三角関数の積を和に変換するために使用します。
（5）sinαcosβ=12｛sin（α+β）+sin（α-β）｝
（6）cosαsinβ=12｛sin（α+β）-sin（α-β）｝
（7）cosαcosβ=12｛cos（α+β）+cos（α-β）｝
（8）sinαsinβ=－12｛cos（α+β）-cos（α-β）｝
加法定理の和と差の式を和積で使用しましたが、積和でも再び用います。
sin（α+β）＋sin（α−β）=2sinαcosβ……i
sin（α+β）－sin（α−β）=2cosαsinβ……ⅱ
cos（α+β）＋cos（α−β）=2cosαcosβ……ⅲ
cos（α+β）－cos（α−β）=－2sinαsinβ……ⅳ
ⅰ、ⅱ、ⅲ、ⅳの両辺を入れ替えて2で割ると、（5）～（8）の積和の公式を導けます。和積と積和は、変形すると互いに同じ形になる関係です。なお、積和の公式は、比較的簡単に加法定理から導き出せるため、暗記は和積の公式のみで十分対応できます。
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